Cinemática A cinemática é o ramo da física que estuda e descreve o movimento dos corpos, sem se preocupar com a análise das suas causas.
Rapidez com que é realizado o deslocamento de um corpo.
Δ r → = r 2 → − r 1 → = Δ x e x → + Δ y e y → + Δ z e z → \overrightarrow{\varDelta r} = \overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1} = \varDelta x \overrightarrow{e_x}+\varDelta y \overrightarrow{e_y}+\varDelta z \overrightarrow{e_z} Δ r = r 2 − r 1 = Δ x e x + Δ y e y + Δ z e z Substituindo pela fórmula do deslocamento temos:
v m → = Δ r → Δ t = r 2 → − r 1 → t 2 − t 1 ⟹ v m → = ( Δ x Δ t ) e x → + ( Δ y Δ t ) e y → + ( Δ z Δ t ) e z → \overrightarrow{v_m} = \frac {\overrightarrow{\varDelta r}}{\varDelta t} = \frac {\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}}{t_2 - t_1} \implies \overrightarrow{v_m} = (\frac {\varDelta x}{\varDelta t}) \overrightarrow{e_x} + (\frac {\varDelta y}{\varDelta t}) \overrightarrow{e_y} + (\frac {\varDelta z}{\varDelta t}) \overrightarrow{e_z} v m = Δ t Δ r = t 2 − t 1 r 2 − r 1 ⟹ v m = ( Δ t Δ x ) e x + ( Δ t Δ y ) e y + ( Δ t Δ z ) e z Sendo:
{ Δ x = x 2 − x 1 Δ y = y 2 − y 1 Δ z = z 2 − z 1 \begin{cases}\varDelta x = x_2 - x_1 \\\varDelta y = y_2 - y_1 \\\varDelta z = z_2 - z_1\end{cases} ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ Δ x = x 2 − x 1 Δ y = y 2 − y 1 Δ z = z 2 − z 1
Velocidade Instantânea Corresponde à derivada do deslocamento.
v → ( t ) = ( d x d t ) e x → + ( d y d t ) e y → + ( d z d t ) e z → \overrightarrow{v}(t)=(\frac {dx}{dt})\overrightarrow{e_x}+(\frac {dy}{dt})\overrightarrow{e_y}+(\frac {dz}{dt})\overrightarrow{e_z} v ( t ) = ( d t d x ) e x + ( d t d y ) e y + ( d t d z ) e z v → ( t ) = v 2 → − v 1 → = Δ v x e x → + Δ v y e y → + Δ v z e z → \overrightarrow{v}(t)=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}=\varDelta v_x \overrightarrow{e_x}+\varDelta v_y \overrightarrow{e_y}+\varDelta v_z \overrightarrow{e_z} v ( t ) = v 2 − v 1 = Δ v x e x + Δ v y e y + Δ v z e z Substituindo pela fórmula da velocidade temos:
a m → = Δ v → Δ t ⟹ a m → = ( Δ v x Δ t ) e x → + ( Δ v y Δ t ) e y → + ( Δ v z Δ t ) e z → \overrightarrow{a_m} = \frac {\overrightarrow{\varDelta v}}{\varDelta t}\implies \overrightarrow{a_m}=(\frac{\varDelta v_x}{\varDelta t})\overrightarrow{e_x}+(\frac{\varDelta v_y}{\varDelta t})\overrightarrow{e_y}+(\frac{\varDelta v_z}{\varDelta t})\overrightarrow{e_z} a m = Δ t Δ v ⟹ a m = ( Δ t Δ v x ) e x + ( Δ t Δ v y ) e y + ( Δ t Δ v z ) e z Aceleração Instantânea Corresponde à derivada da velocidade.
a → = ( d v x d t ) e x → + ( d v y d t ) e y → + ( d v z d t ) e z → \overrightarrow{a}=(\frac{dv_x}{dt})\overrightarrow{e_x}+(\frac{dv_y}{dt})\overrightarrow{e_y}+(\frac{dv_z}{dt})\overrightarrow{e_z} a = ( d t d v x ) e x + ( d t d v y ) e y + ( d t d v z ) e z Equações do Movimento { x = x 0 + v 0 x t + 1 2 a t 2 y = y 0 + v 0 y t + 1 2 a t 2 \begin{cases}x=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}a t^2\\ y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}a t^2\end{cases} { x = x 0 + v 0 x t + 2 1 a t 2 y = y 0 + v 0 y t + 2 1 a t 2
v = v 0 + a t v=v_0+at v = v 0 + a t
Também podemos tirar as seguintes informações relativas ao ângulo de lançamento:
{ v o x = v 0 cos θ v o y = v 0 sin θ \begin{cases}v_{ox}=v_0\cos{\theta}\\v_{oy}=v_0\sin{\theta}\end{cases} { v o x = v 0 cos θ v o y = v 0 sin θ
Exemplos
Calcular o alcance de um projétil, ou seja, o valor de x para quando o y voltar a 0. Sabemos que x 0 = y 0 = 0 x_0=y_0=0 x 0 = y 0 = 0 y y y v 0 x v_{0x} v 0 x v 0 y v_{0y} v 0 y v 0 cos θ v_0\cos{\theta} v 0 cos θ v 0 sin θ v_0\sin{\theta} v 0 sin θ
{ x = x 0 + v 0 x t + 1 2 a t 2 y = y 0 + v 0 y t + 1 2 a t 2 ⟹ { x = ( v 0 cos θ ) t y = ( v 0 sin θ ) t − 1 2 g t 2 \begin{cases}x=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}a t^2\\ y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}a t^2\end{cases} \implies \begin{cases}x=(v_0\cos{\theta})t\\y=(v_0\sin{\theta})t-\frac{1}{2}gt^2 \end{cases} { x = x 0 + v 0 x t + 2 1 a t 2 y = y 0 + v 0 y t + 2 1 a t 2 ⟹ { x = ( v 0 cos θ ) t y = ( v 0 sin θ ) t − 2 1 g t 2
Quando y = 0 ⟹ ( v 0 sin θ ) t − 1 2 g t 2 = 0 ⟹ t v o o = 2 v 0 sin θ g \displaystyle y=0 \implies (v_0\sin\theta)t-\frac{1} {2}gt^2=0 \implies t_{voo}=\frac{2v_0\sin\theta}{g} y = 0 ⟹ ( v 0 sin θ ) t − 2 1 g t 2 = 0 ⟹ t v o o = g 2 v 0 sin θ
Substituindo t t t x x x x a l c a n c e = v 0 cos θ ( 2 v 0 sin θ g ) ⟹ x a l c a n c e = 2 v 0 2 sin θ cos θ g \displaystyle x_{alcance}=v_0\cos\theta(\frac{2v_0\sin\theta}{g})\implies x_{alcance}=\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g} x a l c a n c e = v 0 cos θ ( g 2 v 0 sin θ ) ⟹ x a l c a n c e = g 2 v 0 2 sin θ cos θ
Para ter o alcance máximo, substitui-se θ \theta θ π 4 \frac {\pi} {4} 4 π 45 ° 45\degree 4 5 °
Calcular a altura máxima Na altura máxima, v = 0 v=0 v = 0
v = v 0 sin θ − g t ⟹ v 0 sin θ = 0 ⟹ t = v 0 sin θ g v=v_0\sin\theta-gt \implies v_0\sin\theta=0 \implies t=\frac{v_0\sin\theta}{g} v = v 0 sin θ − g t ⟹ v 0 sin θ = 0 ⟹ t = g v 0 s i n θ
Substituindo t t t y = ( v 0 sin θ ) ( v 0 sin θ g ) − 1 2 g ( v 0 sin θ g ) 2 ⟹ y = v 0 2 ⋅ sin θ 2 2 g \displaystyle y=(v_0\sin\theta)(\frac{v_0\sin\theta}{g})-\frac{1}{2}g(\frac{v_0\sin\theta}{g})^2 \implies y=\frac{v_0^2\cdot{\sin\theta}^2}{2g} y = ( v 0 sin θ ) ( g v 0 sin θ ) − 2 1 g ( g v 0 sin θ ) 2 ⟹ y = 2 g v 0 2 ⋅ sin θ 2
Sendo θ \theta θ
Movimento Circular Ex: Um pêndulo gravítico descreve um movimento circular.
O vetor velocidade é tangente à trajetória v = ω R \displaystyle v=\omega R v = ω R
Sendo ω \omega ω
ω = d θ d t ⟺ ω = θ ˙ \displaystyle \omega = \frac {d\theta}{dt} \iff \omega = \dot \theta ω = d t d θ ⟺ ω = θ ˙
Nos movimentos retilíneos, como não ocorre mudança de direção do vetor velocidade, a aceleração só apresenta a componente tangencial.
Aceleração Tangencial, a T a_T a T Aceleração Normal, a N a_N a N Assim, temos que:
a → = R θ ¨ ⋅ e θ → − R ( θ ˙ ) 2 ⋅ e r → \displaystyle \overrightarrow{a} = R \ddot \theta \cdot \overrightarrow{e_\theta} - R (\dot \theta)^2 \cdot \overrightarrow{e_r} a = R θ ¨ ⋅ e θ − R ( θ ˙ ) 2 ⋅ e r No caso particular do movimento circular uniforme temos:
ω = 2 π T = Constante ⟹ Aceleraç a ˜ o angular e ˊ nula \displaystyle \omega = \frac {2 \pi}{T} = \text{Constante} \implies \text{Aceleração angular é nula} ω = T 2 π = Constante ⟹ Aceleraç a ˜ o angular e ˊ nula
v = ω R \displaystyle v=\omega R v = ω R
a N = − v 2 R = − ω 2 R \displaystyle a_N=-\frac{v^2}{R}=-\omega ^2 R a N = − R v 2 = − ω 2 R
Movimentos Curvilíneos
Qualquer movimento curvilíneo pode ser descrito em cada instante como um movimento circular, em que tem uma velocidade tangente à trajetória, uma componente da aceleração perpendicular e outra paralela à trajetória só que, como a curvatura muda, estes vetores mudam de instante para instante.