Derivadas de Ordem Superior

Matriz Hessiana

Sendo a Jacobiana de uma função $\mathscr{f}$ em $a$:

$J^{f}_{a} =\begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}( a) & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}( a) & \dotsc & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}( a)\\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}( a) & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}( a) & \dotsc & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}( a)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}( a) & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}}( a) & \dotsc & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}( a) \end{bmatrix}$

Então, a Hessiana de $\mathscr{f}$:

$Hf( a) =\begin{bmatrix} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}_{1}} & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \dotsc & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}}\\ \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}_{2}} & \dotsc & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{n}} & \dotsc & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}_{n}} \end{bmatrix}$

Note-se que esta matriz é simétrica.

Extremos

Teorema

$D \subset \R^n$ aberto, $f:D \to \R^n$, $f$ de classe $C^1$. Se $f$ tem um extremo local em $a \in D$ então,

$\nabla f(a) = 0$

Se $\nabla f(a) = 0$, $a$ diz-se um ponto crítico de $f$. Neste caso, $a$ pode ser um extremo local (máximo local ou mínimo local) ou um ponto de sela

Para averiguar-mos a classificação do ponto crítico, devemos basear-nos na matriz hessiana:

Matriz Hessiana 2x2

Se o determinante da matriz for negativo $\implies a$ é ponto de sela.
Se o determinante da matriz for positivo, temos de averiguar o traço.

• Se o traço for positivo $\implies a$ é mínimo local
• Se o traço for negativo $\implies a$ é máximo local

Matriz Hessiana 3x3

Após determinar a matriz hessiana, temos de calcular os valores próprios, $\lambda$, da mesma.

• Se $\lambda > 0$ então há mínimo local em $a$
• Se $\lambda < 0$ então há máximo local em $a$
• Se $\lambda > 0$ e $\lambda < 0$ então $a$ é ponto de sela
• Se $\lambda \ge 0$ então há mínimo ou ponto de sela em $a$
• Se $\lambda \ge 0$ então há máximo ou ponto de sela em $a$

TIP

Para exemplos, recomenda-se ver a resolução do exercício 4 da ficha 5.